Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=-4，b₁=1，a_n+1=2a_n+b_n（n∈N^*），且數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是等差數(shù)列．
（1）求{b_n}的前n項T_n
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求使S_n最小的n的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+b_n可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$，從而可知$\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$是個常數(shù)，從而解得；
（2）由（1）知$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{4}$，從而化簡可得${a_n}=（n-9）•{2^{n-2}}$，從而確定通項的正負(fù)，從而解得．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+b_n，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$，
∵$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是等差數(shù)列，
∴$\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$是一個常數(shù)，設(shè)為c，
又∵b₁=1，
∴$c=\frac{b_1}{2^2}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{1}{4}$，
即${b_n}={2^{n-1}}$，
∴${T_n}={2^n}-1$．
（2）由（1）知，$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{4}$，
且$\frac{a_1}{2}=-2$，
故$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1}{4}$（n-1）=$\frac{n-9}{4}$，
∴${a_n}=（n-9）•{2^{n-2}}$，
易知當(dāng)1≤n＜9時，a_n＜0且a₉=0，
當(dāng)n＞9時，a_n＞0；
∴使S_n最小的n的值為8或9．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的化簡與運(yùn)算，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用．