Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：直線l恒過定點；
（2）試判斷直線l與圓C的位置關系；
（3）當直線l與圓C相交時，求直線l被圓C截得的弦何時最長，何時最短？并求截得的弦長最短時m的值以及最短長度．

Answer 1

分析：（1）將直線l方程整理后，根據m的任意性，列出關于x與y的方程組，求出方程組的解得到x與y的值，確定出直線恒過定點的坐標；
（2）由（1）確定的定點坐標，利用兩點間的距離公式求出定點與圓心的距離d，與圓的半徑比較大小即可判斷出直線與圓的位置關系；
（3）當直線l過圓心C時，被截得弦長最長，此時弦長等于圓的直徑，當直線l和圓心與定點連線CD垂直時，弦長最短，利用垂徑定理及勾股定理求出最短弦長，由C與D的坐標求出直線CD的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出直線l的斜率，列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，以及此時直線l的方程．

解答：（1）證明：∵將直線l的方程整理得：（2x+y-7）m+x+y-4=0，
由于m的任意性，∴

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得：

x=3 y=1

，
∴直線l恒過定點（3，1）；
（2）∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
∴（3，1）在圓內，
∴直線恒經過圓內一定點D，
∴直線與圓相交；
（3）當直線l過圓心C時，被截得弦長最長，此時弦長等于圓的直徑，
當直線l和圓心與定點連線CD垂直時，弦長最短，
最短弦長為d=2

r2-5

=4

5

，
此時直線的斜率為k_CD=

1-2

3-1

=-

1

2

，
∴-

2m+1

m+1

=2，解得：m=-

3

4

，
此時直線l的方程為y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，直線與圓的位置關系由d與r來判斷：當d＞r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．