Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)時(shí)a=-4時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0.f′(x)=

2(x+2)(x-1)

x

，由此能求出f（x）的極小值．
（2）由f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），知f′(x)=

2x2+2x+a

x

，設(shè)g（x）=2x²+2x+a，由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0
f′(x)=

2(x+2)(x-1)

x

，
令f′（x）=0，得x=-2（舍），或x=1，
列表，得

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

∴f（x）的極小值f（1）=1+2-4ln1=3，
∵f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0只有一個(gè)極小值，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值3．
（2）∵f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），
∴f′(x)=

2x2+2x+a

x

，（x＞0），
設(shè)g（x）=2x²+2x+a，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥0，或a≤-4}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．