Question

如圖所示，將邊長為2的正三角形鐵皮的三個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正三棱柱容器，要求正三棱柱容器的高x與底面邊長之比不超過正常數(shù)t．
（1）把正三棱柱容器的容積V表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）x為何值時，容積V最大？并求最大值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中箱子的制作方法，我們可求出容積V（x）的解析式，求出其導函數(shù)，分析其單調(diào)性，可得到函數(shù)的最值點，代入可得答案．

解答： 解：（1）因為正三棱柱容器的高x，則容器底邊長為2-2

3

x，（0＜x＜

3

3

），
所以正三棱柱容器的容積為V（x）=

1

2

×(2-2

3

x)2×sin60°•x=3

3

x³-6x²+

3

x，（0＜x＜

3

3

），
（2）V′（x）=9

3

x²-12x+

3

，
令V′（x）=0，即9

3

x²-12x+

3

=0，解得x=

3

3

（舍去），或x=

3

9

，
當x∈（0，

3

9

）時，V′（x）＞0，
當x∈（

3

9

，

3

3

）時，V′（x）＞0，
所以函數(shù)V（x）在x=

3

9

時，取得極大值，
這個極大值就是函數(shù)V（x）的最大值，即為V（

3

9

）=3

3

×（

3

9

）³-6×（

3

9

）²+

3

×

3

9

=

1

27

-

2

9

+

1

3

=

2

27

．

點評：本題考查的知識點是棱柱的體積，導數(shù)法求最值，其中根據(jù)已知求出容積V（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．