Question

當(dāng)x＞0時(shí)，求證：e^x＞lnx+2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=e^x-lnx-2，（x＞0），F′(x)=ex-

1

x

，F′(x)=ex-

1

x

也是R⁺上的增函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出F（x）_min=F（t）=t+

1

t

-2≥0，由此能證明當(dāng)x＞0時(shí)，不等式e^x＞lnx+2恒成立．

解答： 證明：設(shè)函數(shù)F（x）=e^x-lnx-2，（x＞0），
F′(x)=ex-

1

x

，…1分
當(dāng)x=10時(shí)，F′(x)=e10-

1

10

＞1-

1

10

＞0，…2分
當(dāng)x=

1

10

時(shí)，F′(

1

10

)=e

1

10

-

1

1 10

=e

1

10

-10＜e-10＜0，…3分
y=e^x和y=-

1

x

都是R⁺上的增函數(shù)，
F′(x)=ex-

1

x

也是R⁺上的增函數(shù)，…4分
根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必存在常數(shù)t＞0，
使得方程et-

1

t

=0成立，且解是唯一的…5分
當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函數(shù)；
所以函數(shù)F（x）的最小值為F（t），即F（x）_min=F（t）=e^t-lnt-2，t≠1．…7分
因?yàn)?span id="v94a94m" class="MathJye">et-

1

t

=0，所以t=

1

et

，lnt=-t，
所以F（x）_min=F（t）=t+

1

t

-2≥0，（當(dāng)t=1時(shí)，不等式等號(hào)成立），…9分
t≠1，所以當(dāng)x＞0時(shí)，不等式e^x＞lnx+2恒成立．…10分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．