Question

已知數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)和為S_n，且n，a_n，S_n成等差數(shù)列（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n＞57時(shí)n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知，n，a_n，S_n成等差數(shù)列，所以S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2），經(jīng)兩式相減后，可構(gòu)造出等比數(shù)列{a_n+1}，通過(guò)數(shù)列{a_n+1}的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）由（1）知，S_n=2a_n-n=2ⁿ⁺¹-2-n，所以S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-1＞0，{S_n}為遞增數(shù)列．由S_n＞57，求得n＞5

解答：解：（1）由已知，n，a_n，S_n成等差數(shù)列，所以S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2）
兩式相減得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-1，
即a_n=2a_n-1+1，兩邊加上1，得a_n+1=2（a_n-1+1），
所以數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，且公比q=2，又S₁=2a₁-1，∴a₁=1，a₁+1=2
數(shù)列{a_n+1}的通項(xiàng)公式為a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ-1，
（2）由（1）知，S_n=2a_n-n=2ⁿ⁺¹-2-n，所以S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-1＞0，{S_n}為遞增數(shù)列．
S_n＞57時(shí)，2ⁿ⁺¹-n＞59，又當(dāng)n=5時(shí)，2⁶-5=59，所以n＞5

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)．考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造，運(yùn)算求解能力．