Question

15．如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VB=VC=2$\sqrt{3}$，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，過A作截面AEF分別交VB，VC于點(diǎn)E，F(xiàn)，求△AEF周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V-ABC展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖，則AA′即為截面△AEF周長(zhǎng)的最小值，且∠AVA′=3×40°=120°．△VAA′中，由余弦定理可得 AA'的值．

解答 解：如圖所示：沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V-ABC展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖（2），
則AA′即為截面△AEF周長(zhǎng)的最小值，且∠AVA′=3×40°=120°．
△VAA′中，由余弦定理，得
 AA'=$\sqrt{V{A}^{2}+A′{V}^{2}-2VA•A′Vcos120°}$=$\sqrt{12+12-2×2\sqrt{3}×2\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）}$=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用棱錐的側(cè)面展開圖研究幾條線段和的最小值問題，是一種重要的解題方法，屬于基礎(chǔ)題．