Question

已知拋物線(xiàn)y²=4x，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上移動(dòng)，Q是OP的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）若傾斜角為60°且過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交Q的軌跡于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|．

Answer 1

分析：（1）設(shè)Q（x，y），根據(jù)Q是OP中點(diǎn)，可得P（2x，2y），利用點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y²=4x上，即可得到點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程代入y²=2x，消去y得：3x²-8x+3=0，利用韋達(dá)定理，可計(jì)算弦長(zhǎng)|AB|．

解答：解：（1）設(shè)Q（x，y），∵Q是OP中點(diǎn)，∴P（2x，2y）
又∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y²=4x上
∴（2y）²=4×2x，即y²=2x為點(diǎn)Q的軌跡方程
（2）∵F（1，0），kAB=

3

，∴直線(xiàn)AB的方程為：y=

3

(x-1)
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線(xiàn)AB的方程代入y²=2x，消去y得：3x²-8x+3=0
∴x1+x2=

8

3

，x1x2=1
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 7

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查求軌跡方程，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握代入法求軌跡方程，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解．