Question

在拋物線y=4x²上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線y=4x-5的距離最短，該點(diǎn)的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

分析：聯(lián)立直線與拋物線方程，利用判別式等于0，求出直線方程，解出所求點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解法一：設(shè)與y=4x-5平行的直線y=4x+b與y=4x²相切，則y=4x+b代入y=4x²，得4x²-4x-b=0．①
△=16+16b=0時(shí)b=-1，代入①得x=

1

2

，
∴所求點(diǎn)為（

1

2

，1）．
解法二：設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₀，y₀），那么有y₀=4x₀²．設(shè)點(diǎn)A到直線y=4x-5的距離為d，則
d=

|4x0-y0-5|

42+1

=

1

17

|-4x₀²+4x₀-5|=

1

17

|4x₀²-4x₀+5|=

1

17

|4（x₀-

1

2

）²+1|．
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=

1

2

時(shí)，d有最小值，
將x₀=

1

2

代入y=4x²解得y₀=1．
故A點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，1）．
故答案為：（

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離，直線與拋物線的位置關(guān)系，是中檔題．