Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin（x+φ），0＜φ＜

π

2

，且f（0）=1．
（1）求φ的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知f（α-

π

4

）=

4 2

5

，

π

2

＜α＜π，f（β+

π

4

）=-

12 2

13

，

π

2

＜β＜π，求cos（α+β）值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象,兩角和與差的余弦函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)條件f（0）=1即可求φ的值，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)條件求出sinα，cosα，sinβ，cosβ，利用兩角和差的余弦公式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）∵f（0）=1，
∴f（0）=

2

sinφ=1，
即sinφ=

2

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

4

，
則f（x）=

2

sin（x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z；
（2）∵f（α-

π

4

）=

4 2

5

，

π

2

＜α＜π，f（β+

π

4

）=-

12 2

13

，

π

2

＜β＜π，
∴f（α-

π

4

）=

2

sinα=

4 2

5

，

π

2

＜α＜π，
即sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

由f（β+

π

4

）=

2

sin（β+

π

4

+

π

4

）=

2

cosβ=-

12 2

13

，

π

2

＜β＜π，
則cosβ=-

12

13

，sinβ=

5

13

，
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

12

13

×（-

3

5

）-

4

5

×

5

13

=

16

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．