Question

(本小題滿分13分).某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元．

（Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的．

Answer 1

（I）_；
（II）是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。
（2）當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)。

解析試題分析：（I）設(shè)容器的容積為V，
由題意知
故
由于
因此_{…………………………………………………………………….3分}
所以建造費(fèi)用
因此_{………………………………………..5分}
（II）由（I）得
由于
當(dāng)
令
所以_{………………………………….7分}
（1）當(dāng)時(shí)，

所以是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。………………….10分
（2）當(dāng)即時(shí)，
當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)
當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)………………13分
考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，幾何體特征及體積計(jì)算。
點(diǎn)評(píng)：高考題，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系、準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵。