在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，BD=3DC，若P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，AD=2
（Ⅰ）設(shè)
PB
=
a
，
PC
=
b
，用
a
，
b
表示向量
PD

（Ⅱ）求
PA
•(
PB
+3
PC
)的最小值．
分析：（I）先分別利用
PD
，
PB
表示
BD
，
CD
，然后結(jié)合
BD
=3
DC
，代入即可求解
（II）由（Ⅰ）可知
PB
+3
PC
=4
PD
，先|
PA
|=x(0≤x≤2)，代入利用向量的數(shù)量積的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解
解答：解：（Ⅰ）依題
BD
=
PD
-
PB
，
CD
=
PD
-
PC

又
BD
=-3
CD
所以
PD
-
PB
=-3(
PD
-
PC
)
整理可得4
PD
=
PB
+3
PC
則
PD
=
1
4
a
+
3
4
b

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
PB
+3
PC
=4
PD

設(shè)|
PA
|=x(0≤x≤2)故
PA
•(
PB
+3
PC
)=
PA
•(4
PD
)=-4x（2-x）≥-4
所以當(dāng)x=1時(shí)
PA
•(
PB
+3
PC
)的最小值為-4
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義及向量的基本運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用，解題時(shí)要準(zhǔn)確利用基本公式
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是DC的中點(diǎn)，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，若
AB
=
a
，
AC
=
b
，則
AF
=（　�。�
A、
1
4
a
+
3
4
b
B、
1
4
a
-
3
4
b
C、
1
8
a
+
7
8
b
D、
1
8
a
-
7
8
b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，D是BC邊上的任一點(diǎn)（D與B，C不重合），
且|
AB
|2=|
AD
|2+|
BD
|•|
DC
|，試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明：△ABC為等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•安徽模擬）在△ABC中，D是BC邊上任意一點(diǎn)（D與B，C不重合），且|AB|2=|AD|2+|BD|•|DC|，則△ABC一定是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)請(qǐng)考生在第（1），（2），（3）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
（1）選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F．
（Ⅰ）求
BF
FC
的值；
（Ⅱ）若△BEF的面積為S1，四邊形CDEF的面積為S2，求S1：S2的值．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，a=
π
6
軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1），傾斜角a=
π
6
．
（ I）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程；
（ II）設(shè)l與圓ρ=2相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（II）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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