Question

已知對稱中心為坐標(biāo)原點的橢圓C₁與拋物線C₂：x²=4y有一個相同的焦點F₁，直線l：y=2x+m與拋物線C₂只有一個公共點．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）若橢圓C₁經(jīng)過直線l上的點P，當(dāng)橢圓C₁的長軸長取最小值時，求橢圓C₁的方程及點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的一般式方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于0求解m的值，代入后可得直線方程；
（Ⅱ）由拋物線的焦點坐標(biāo)得到橢圓的兩焦點坐標(biāo)，求出點F₁ 關(guān)于直線l的對稱點，然后利用三角形兩邊之和大于第三邊得到使橢圓C₁的長軸長取最小值時點P的坐標(biāo)，并求得橢圓長軸的最小值，則答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）由

y=2x+m x2=4y

消去y，得x²-8x-4m=0．
∵直線l與拋物線C₂只有一個公共點，
∴△=8²+4×4m=0，解得m=-4．
∴直線l的方程為y=2x-4；
（Ⅱ）∵拋物線C₂的焦點為：F₁（0，1），
依題意知橢圓C₁ 的兩個焦點坐標(biāo)為F₁（0，1），F(xiàn)₂（0，-1），
如圖，

設(shè)點F₁關(guān)于直線l的對稱點為F1′(x0，y0)，
則

y0-1 x0 ×2=-1 y0+1 2 =2× x0 2 -4

，解得

x0=4 y0=-1

．
∴點F1′(4，-1)．
∴直線F1′F2 的方程為y=-1．
直線l與直線F1′F2 的交點坐標(biāo)為P0(

3

2

，-1)．
由橢圓的定義及平面幾何知識得：
橢圓C₁的長軸長2a=|PF1|+|PF2|=|PF1′|+|PF2|≥|F1′F2|=4．
其中當(dāng)P與P₀重合時上式取等號．
∴當(dāng)a=2時，橢圓的長軸長取得最小值為4，
此時橢圓的方程為

y2

4

+

x2

3

=1，點P的坐標(biāo)為(

3

2

，-1)．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用三角形兩邊之和大于第三邊求最值點，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了橢圓方程的求法，是壓軸題．