Question

設(shè)a₁，a₂，a₃∈R⁺，且a₁+a₂+a₃=m．求證：
（1）a₁²+a₂²+a₃²≥

m2

3

；      
（2）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

m

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）（a₁+a₂+a₃）²=a₁²+a₂²+a₃²+2a₁a₂+2a₂a₃+2a₁a₃≤3（a₁²+a₂²+a₃²），即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可分別求得a₁+a₂+a₃和

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

的最小值，兩式相乘即可求得（

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

）m的最小值，整理后原式得證．

解答： 證明：（1）（a₁+a₂+a₃）²=a₁²+a₂²+a₃²+2a₁a₂+2a₂a₃+2a₁a₃≤3（a₁²+a₂²+a₃²），
∵a₁+a₂+a₃=m，
∴a₁²+a₂²+a₃²≥

m2

3

；      
（2）∵（

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

）m=（

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

）（a₁+a₂+a₃）≥3

3	a1a2a3

•3

3	1 a1 • 1 a2 • 1 a3

，
當(dāng)且僅當(dāng)a₁=a₂=a₃=

m

3

時(shí)等號(hào)成立．
又∵m=a₁+a₂+a₃＞0，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

m

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用．解題的時(shí)候要特別注意等號(hào)成立的條件．