Question

【題目】如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，

（1）求證：EF⊥平面ACFD；
（2）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于點(diǎn)K，如圖所示，

∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，

∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF⊥CK，

∴BF⊥平面ACFD

（2）

方法一：過點(diǎn)F作FQ⊥AK，連接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，則AK⊥平面BQF，

∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角．

在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ= ．

在Rt△BQF中，BF= ，F(xiàn)Q= ．可得：cos∠BQF= ．

∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值為 ．

方法二：如圖

，

延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于點(diǎn)K，則△BCK為等邊三角形，

取BC的中點(diǎn)，則KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，

以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OK的方向?yàn)閤，z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0， ），A（﹣1，﹣3，0）， ， ．

=（0，3，0）， = ， （2，3，0）．

設(shè)平面ACK的法向量為 =（x1，y1，z1），平面ABK的法向量為 =（x2，y2，z2），由 ，可得 ，

取 = ．

由 ，可得 ，取 = ．

∴ = = ．

∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值為 ．

【解析】（1）先證明BF⊥AC，再證明BF⊥CK，進(jìn)而得到BF⊥平面ACFD．
（2）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中計(jì)算，即可得出；
方法二：通過建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面ACK與平面ABK的法向量，進(jìn)而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值．
本題考查了空間位置關(guān)系、法向量的應(yīng)用、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
【考點(diǎn)精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．