Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．
（1）若函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，求a的值；
（2）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值；
（3）當(dāng)a≠0時(shí)，若f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)求導(dǎo)公式和法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由二次函數(shù)是偶函數(shù)的條件求出a的值；
（2）把x=1代入切線方程求出f（1），再把此點(diǎn)代入曲線方程及把x=1代入導(dǎo)函數(shù)列方程組求a和b，求出臨界點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，再求出極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，進(jìn)行比較得最大值；
（3）將條件轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f'（x）在（-1，1）存在零點(diǎn)”，求出f'（x）=0的根，再結(jié)合區(qū)間長(zhǎng)度判斷出：f'（x）在（-1，1）只有一個(gè)零點(diǎn)，列出列出不等式進(jìn)行求解．

解答：解：（1）由題意得，f'（x）=x²-2ax+a²-1，
∵f'（x）是偶函數(shù)，∴-2a=0，解得a=0，
（2）由題意知（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2，
又∵（1，2）在y=f（x）上，∴2=

1

3

-a+a2-1+b   ①，
由f'（1）=-1，得1-2a+a²-1=-1  ②
由①②，解得a=1，b=

8

3

，
∴f(x)=

1

3

x3-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x，
由f'（x）=0得x=0或x=2，
當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0；
∴函數(shù)y=f（x）的減區(qū)間為（0，2），增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），
∴x=0或x=2是f（x）的極值點(diǎn)．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8，
∴f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值為8．
（3）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，∴以函數(shù)f'（x）在（-1，1）存在零點(diǎn)．
由f'（x）=0得，x²-2ax+a²-1=0，解得x=a-1或x=a+1，則區(qū)間長(zhǎng)為2，
∴在區(qū)間（-1，1）上不可能有2個(gè)零點(diǎn)，即f'（x）在（-1，1）只有一個(gè)零點(diǎn)．
則f'（-1）f'（1）＜0，即a²（a+2）（a-2）＜0，
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，解得-2＜a＜2．
又由a≠0，a的取值范圍為（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問(wèn)題，以及函數(shù)零點(diǎn)等，考查了轉(zhuǎn)化思想和分析、解決問(wèn)題的能力．