Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)R．
（I）若對數(shù)函數(shù)y=lgx圖象經(jīng)過點(diǎn)F，求拋物線C方程；
（II）$\frac{|AB|}{|BF|}$恒為定值嗎？如果是，求出該值，如果不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由對數(shù)函數(shù)y=lgx圖象經(jīng)過點(diǎn)F求出F的縱坐標(biāo)，得到p，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）由題意可知，直線AB的斜率存在，設(shè)AB所在直線方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由拋物線弦長公式求得|AB|，求出B的橫坐標(biāo)，再由焦半徑公式求得|BF|，作商后可知$\frac{|AB|}{|BF|}$不是定值．

解答 解：（Ⅰ）由對數(shù)函數(shù)y=lgx圖象經(jīng)過點(diǎn)F，可得F（1，0），
∴$\frac{p}{2}=1$，即p=2，則拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）如圖，
由題意可知，直線AB的斜率存在，設(shè)AB所在直線方程為y=k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}+2=\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
由x₁x₂=1，得${x}_{1}=\frac{1}{{x}_{2}}$，∴$\frac{1}{{x}_{2}}+{x}_{2}+2=\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}=4+\frac{4}{{k}^{2}}$，
解得：${x}_{2}=1+\frac{2}{{k}^{2}}±\frac{2}{{k}^{2}}\sqrt{{k}^{2}+1}$．
∴|BF|=${x}_{2}+\frac{p}{2}=1+\frac{2}{{k}^{2}}±\frac{2}{{k}^{2}}\sqrt{{k}^{2}+1}+1$=$2（1+\frac{1}{{k}^{2}}±\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}）$．
則$\frac{|AB|}{|BF|}$=$\frac{\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}}{2\frac{{k}^{2}+1±\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}}$=$\frac{2（{k}^{2}+1）}{（{k}^{2}+1）±\sqrt{{k}^{2}+1}}$，不是定值．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)，特別是焦點(diǎn)弦問題，解題時(shí)要善于運(yùn)用拋物線的定義解決問題，是中檔題．