Question

2．已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（Ⅲ）若方程g（x）-λf（x）+1=0在（-1，1）上有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)Q（x₀，y₀）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），則P在g（x）的圖象上，由線段的中點(diǎn)公式解出 x₀和y₀ 的解析式，代入函數(shù)y=f（x）可得g（x）的解析式．
（Ⅱ）不等式可化為 2x²-|x-1|≤0，分類討論，去掉絕對(duì)值，求出不等式的解集．
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1，分類討論，結(jié)合方程g（x）-λf（x）+1=0在（-1，1）上有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)Q（x₀，y₀）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），則P在g（x）的圖象上，
 且 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}+x}{2}=0}\\{\frac{{y}_{0}+y}{2}=0}\end{array}\right.$，即x₀=-x，y₀=-y，
∵點(diǎn)Q（x₀，y₀）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，故，g（x）=-x²+2x．
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x²-|x-1|≤0
當(dāng)x≥1時(shí)，2x²-x+1≤0，此時(shí)不等式無(wú)解．
當(dāng)x＜1時(shí)，2x²+x-1≤0，解得-1≤x≤$\frac{1}{2}$．因此，原不等式的解集$[-1，\frac{1}{2}]$
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1，
①當(dāng)λ=-1時(shí)，h（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，h（x）=0，x=-$\frac{1}{4}$，符合題意；
②當(dāng)λ≠-1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{-（1+λ）＞0}\\{h（-1）h（1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-（1+λ）＜0}\\{h（-1）h（1）＜0}\end{array}\right.$，另需驗(yàn)證h（-1）=0或h（1）=0的情況
∴得到λ≥2或-1＜λ≤$\frac{2}{3}$或λ＜-1．
綜上所述，λ≤$\frac{2}{3}$或λ≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)的解析式的方法以及解絕對(duì)值不等式的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．