Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=10，S₆=72，b_n=

1

2

a_n-30．
（1）求通項(xiàng)a_n；   
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）等差數(shù)列{a_n}中，由a₃=10，S₆=72，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=

1

2

a_n-30，a_n=4n-2，知b_n=

1

2

a_n-30=2n-31，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值．

解答：解：（1）等差數(shù)列{a_n}中，
由a₃=10，S₆=72，
得

a1+2d=10 6a1+ 6×5 2 d=72

，
解得

a1=2 d=4

，
∴a_n=4n-2．
（2）∵b_n=

1

2

a_n-30，a_n=4n-2，
∴b_n=

1

2

a_n-30=2n-31，
∵由b_n=2n-31≥0，得n≥

31

2

，
∴{b_n}前15項(xiàng)為負(fù)值，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值=T₁₅=-225．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．