Question

求證：

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

，n∈N^*．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，驗(yàn)證n=1時(shí)成立，假設(shè)n=k是成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立即可．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

3

，右邊=

1

3

，等式成立．--（3分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k(k+1)

2(2k+1)

-----（6分）
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k(k+1)

2(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．----------------------（13分）
根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N^*都成立．-----------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，必須用上假設(shè)．