Question

設(shè)f（x）=ax³+bx+c為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為-12．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，極大值和極小值，并求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)奇函數(shù)求出c的值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'（x）的最小值求出b的值，最后依據(jù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率求出c的值即可；
（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得區(qū)間即為單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c
∴c=0
∵f'（x）=3ax²+b的最小值為-12
∴b=-12
又直線x-6y-7=0的斜率為

1

6

因此，f'（1）=3a+b=-6
∴a=2，b=-12，c=0．
（2）f（x）=2x³-12x．f′（x）=6（x+

2

）（x-

2

），列表如下：

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，

2

）和（

2

，+∞），
∵f（-1）=10，f（

2

）=-8

2

，f（3）=18
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（

2

）=-8

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，以及推理能力和運(yùn)算能力．