Question

4．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.（{t為參數(shù)，0＜α＜\frac{π}{2}}）$，若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ+4cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ≤2π）．
（Ⅰ）當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，求直線l的普通方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交A，B兩點(diǎn)．求證：$\overline{OA}$•$\overline{OB}$是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將$α=\frac{π}{3}$帶入計(jì)算，消去t可得普通方程．
（Ⅱ）將曲線C化為普通方程，把直線l的參數(shù)方程帶入曲線C的普通方程，利用韋達(dá)定理求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)$a=\frac{π}{3}$時(shí)，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
消去參數(shù)t，得$y=\sqrt{3}（{x-1}）$．
∴直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$．
（Ⅱ）將直線方程消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為y=（x-1）tanα．
又曲線C為：ρcos²θ+4cosθ=ρ
可化為4cosθ=ρsin²θ，
即ρ²sin²θ=4ρcosθ．
將$\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}}\right.$代入ρ²sin²θ=4ρcosθ，
得y²=4x，帶入y=（x-1）tanα．
得tan²α•x²-2（tan²α+2）x+tan²α=0，
則${x_1}{x_2}=1，{y_1}^2{y_2}^2=16{x_1}{x_2}=16$．注意到y(tǒng)₁，y₂的符號相反，
可知y₁y₂=-4．
從而有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-3$（定值）．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，考查了直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．