Question

已知不等式

2

(2a+3)cos(θ-

π

4

)+

6

sinθ+cosθ

-2sin2θ＜3a+6對(duì)于θ∈[0，

π

2

]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

設(shè)sinθ+cosθ=x，則cos(θ-

π

4

)=

2

2

x，sin2θ=x2-1，x∈[1，

2

]
從而原不等式可化為：(2a+3)x+

6

x

-2(x2-1)＜3a+6
即2x2-2ax-3x-

6

x

+3a+4＞0，2x(x+

2

x

-a)-3(x+

2

x

-a)＞0，
(2x-3)(x+

2

x

-a)＞0(x∈[1，

2

])(1)
∴原不等式等價(jià)于不等式（1）∵x∈[1，

2

]，∴2x-3＜0
（1）不等式恒成立等價(jià)于x+

2

x

-a＜0(x∈[1，

2

])恒成立．
從而只要a＞(x+

2

x

)max(x∈[1，

2

])．
又容易知道f(x)=x+

2

x

在[1，

2

]上遞減，∴(x+

2

x

)max=3(x∈[1，

2

])．
所以a＞3．