Question

已知不等式

2

(2a+3)cos(θ-

π

4

)+

6

sinθ+cosθ

-2sin2θ＜3a+6對于θ∈[0，

π

2

]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)sinθ+cosθ=x，則原不等式可化為：(2a+3)x+

6

x

-2(x2-1)＜3a+6，然后轉(zhuǎn)化成x+

2

x

-a＜0(x∈[1，

2

])恒成立，將a分離出來，從而只要a＞(x+

2

x

)max(x∈[1，

2

])，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出(x+

2

x

)max=3(x∈[1，

2

])即可求出a的范圍．

解答：解：設(shè)sinθ+cosθ=x，則cos(θ-

π

4

)=

2

2

x，sin2θ=x2-1，x∈[1，

2

]
從而原不等式可化為：(2a+3)x+

6

x

-2(x2-1)＜3a+6
即2x2-2ax-3x-

6

x

+3a+4＞0，2x(x+

2

x

-a)-3(x+

2

x

-a)＞0，
(2x-3)(x+

2

x

-a)＞0(x∈[1，

2

])(1)
∴原不等式等價于不等式（1）∵x∈[1，

2

]，∴2x-3＜0
（1）不等式恒成立等價于x+

2

x

-a＜0(x∈[1，

2

])恒成立．
從而只要a＞(x+

2

x

)max(x∈[1，

2

])．
又容易知道f(x)=x+

2

x

在[1，

2

]上遞減，∴(x+

2

x

)max=3(x∈[1，

2

])．
所以a＞3．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，以及換元法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是恒等式的轉(zhuǎn)化變形，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，是一道綜合題．