Question

16．已知R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，兩個(gè)極值點(diǎn)分別為-1和1，若f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（1，2）

Answer 1

分析 由原函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，把不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，求解不等式組后取并集得答案．

解答 解：由函數(shù)圖象可知f′（x）＞0的解集為：（-∞，-1）∪（1，+∞），
f′（x）＜0的解集為：（-1，1）．
由（x²-2x-3）f′（x）＞0，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-3＞0}\\{f′（x）＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-3＜0}\\{f′（x）＜0}\end{array}\right.$②
解①得：x＜-1或x＞3；
解②得：-1＜x＜1．
∴不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，訓(xùn)練了一元二次不等式及不等式組的解法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．