Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x3+1+a（ ≤x≤e，e是自然對(duì)數(shù)的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[0，e3﹣4]
B.[0， +2]
C.[ +2，e3﹣4]
D.[e3﹣4，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）=﹣x3+1+a（ ≤x≤e，e是自然對(duì)數(shù)的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)， 則方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在區(qū)間[ ，e]上有解，
﹣x3+1+a=﹣3lnxa+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在區(qū)間[ ，e]上有解，
設(shè)函數(shù)g（x）=x3﹣31nx，其導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x2﹣ = ，
又由x∈[ ，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)，
分析可得：當(dāng) ≤x≤1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)1≤x≤e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
故函數(shù)g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，
又由g（ ）= +3，g（e）=e3﹣3；比較可得：g（ ）＜g（e），
故函數(shù)g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，
故函數(shù)g（x）=x3﹣31nx在區(qū)間[ ，e]上的值域?yàn)閇1，e3﹣3]；
若方程a+1=x3﹣31nx在區(qū)間[ ，e]上有解，
必有1≤a+1≤e3﹣3，則有0≤a≤e3﹣4，
即a的取值范圍是[0，e3﹣4]；
故選：A．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．