(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):
(1)k為何值時(shí),⊥.
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,m使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx對(duì)稱,若存在,求出k,m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(Ⅰ)由題意設(shè)雙曲線方程為=1,把(1,)代入得=1 (*)
又y2=x的焦點(diǎn)是(,0),故雙曲線的c2=a2+b2=與(*)聯(lián)立,消去b2可得4a4-21a2+5=0,(4a2-1)(a2-5)=0.∴a2=,a2=5(不合題意舍去)
于是b2=l,∴雙曲線方程為4x2-y2=1
(Ⅱ)由消去y得(4-k2)x2-2kx-2=0 (*),
當(dāng)△>0,即(k≠±2)時(shí),l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B
(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因,故=0
即x1x2+y1y2=0,由(*)知x1+x2=,x1x2=,
代入可得+k2·+k·+1=0化簡(jiǎn)得k2=2
∴k=,檢驗(yàn)符合條件,故當(dāng)k=±時(shí),
(2)若存在實(shí)數(shù)k,m滿足條件,則必須
由(2),(3)得m(x1+x2)=k(x1+x2)+2 (4)
把x1+x2=代入(4)得mk=4這與(Ⅰ)的mk=-1矛盾,故不存在實(shí)數(shù)k,m滿足條件.
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