Question

6．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2．
（1）求A₁到平面AB₁D距離；
（2）求D到平面A₁BD₁距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)V${\;}_{{A}_{1}-A{B}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}A{B}_{1}}$列方程求出；
（2）根據(jù)V${\;}_{B-{A}_{1}{D}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}B{D}_{1}}$列方程求出．

解答 解：（1）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，
∴AB₁=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴S${\;}_{△A{B}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×AD×A{B}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
V${\;}_{{A}_{1}-A{B}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}A{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}A{B}_{1}}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)A₁到平面AB₁D距離為h，則V${\;}_{{A}_{1}-A{B}_{1}D}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△A{B}_{1}D}$•h，
即$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}×h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴A₁到平面AB₁D距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）設(shè)D到平面A₁BD₁距離為h₂，
∵V${\;}_{B-{A}_{1}{D}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}B{D}_{1}}$，即$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}D}•AB$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}B{D}_{1}}•{h}_{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}$×h₂，
∴h₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴D到平面A₁BD₁距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了點(diǎn)面距離的計(jì)算，可用等積法、向量法、或定義法求出，屬于中檔題．