Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處取得極值，且在x=-1處的切線斜率為2．
（1）求a，b的值；
（2）若x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），因為函數(shù)在x=1處取得極值，在x=-1處的切線斜率為2，聯(lián)立方程組解得a與b的值，然后把a、b的值．
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函數(shù)的最大值值為f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{f′（-1）=3-2a+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
（2）由（1）可得：f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	（-∞，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-$\frac{2}{3}$）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（-$\frac{2}{3}$，1）．
函數(shù)f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，x∈[-1，2]，
當x=-$\frac{2}{3}$時，f（x）=$\frac{22}{27}$+c為極大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜c²對x∈[-1，2]恒成立，須且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．

點評 考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及理解函數(shù)恒成立時所取到的條件．