Question

已知函數f(x)＝，x∈[－1,1]，函數g(x)＝[f(x)]²－2af(x)＋3的最小值為h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在實數m、n同時滿足下列條件：
①m＞n＞3；
②當h(a)的定義域為[n，m]時，值域為[n²，m²]？若存在，求出m、n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）h(a)＝（2）不存在

(1)∵x∈[－1,1]，∴f(x)＝∈.設t＝，t∈，
則y＝φ(t)＝t²－2at＋3＝(t－a)²＋3－a².
當a＜時，y_min＝h(a)＝φ＝；
當≤a≤3時，y_min＝h(a)＝φ(a)＝3－a²；
當a＞3時，y_min＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.
∴h(a)＝
(2)假設滿足題意的m、n存在，∵m＞n＞3，∴h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是減函數．∵h(a)的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]，∴，由②－①得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，∵m＞n＞3，∴m＋n＝6，但這與“m＞n＞3”矛盾，∴滿足題意的m、n不存在．