Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)在直線x+y=0上，求直線AB的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)O、F并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），代入，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由此能求出直線AB的方程．
（2）由a²=2，b²=1，c=1，F(xiàn)（-1，0），l：x=-2，知圓過(guò)O、F，圓心M在上，由此能求出圓的方程．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
代入
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，
∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點(diǎn)N（x，y），
則，
…（3分），
∵線段AB的中點(diǎn)在直線x+y=0上，
∴，
解得k=0或…（5分）
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，
線段AB的中點(diǎn)F不在直線x+y=0上
∴直線AB的方程是y=0或x-2y+1=0…（6分）
（2）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F(xiàn)（-1，0），l：x=-2…（9分）
∴圓過(guò)O、F∴圓心M在上，
設(shè)
則圓半徑，…（11分）
由|OM|=r得，
解之得，
故所求圓的方程為…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．