Question

8．已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{7}{2}n\;（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={2^{{a_n}-2}}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）若數(shù)列{c_n}滿足${c_n}={a_n}•{b_n}^{\frac{1}{3}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，化簡整理可得{a_n}的通項(xiàng)公式，再由定義即可得到證明；
（Ⅱ）求得{b_n}的通項(xiàng)公式，再由定義可證為等比數(shù)列；
（Ⅲ）求得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{7}{2}n\;（n∈{N^*}）$．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$[n²-（n-1）²]+$\frac{7}{2}$[n-（n-1）]=3n+2，
又a₁=5滿足a_n=3n+2，則a_n=3n+2．
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N），
∴數(shù)列{a_n}是以5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由已知得${b_n}={2^{{a_n}-2}}$=8ⁿ，
∵$\frac{{b{\;}_{n+1}}}{b_n}=8，（n∈{N^*}）$，
則數(shù)列{b_n}是以8為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列．
（Ⅲ）${c_n}={a_n}•{b_n}^{\frac{1}{3}}=（3n+2）•{2^n}$，
前n項(xiàng)和T_n=5•2+8•2²+11•2³+…+（3n+2）•2ⁿ，
2T_n=5•2²+8•2³+11•2⁴+…+（3n+2）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-T_n=10+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n+2）•2ⁿ⁺¹
=10+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n+2）•2ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=（3n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．