Question

給定兩個(gè)長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為90°．如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧

AB

上變動(dòng)，若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則xy的范圍是

 

．

Answer 1

分析：由

OC

=x

OA

+y

OB

，且向量的模都是 1，

OA

•

OB

=0，平方可得1=x²+y²≥2xy，再由x，y∈[0，1]，
可得xy的范圍．

解答：解：由

OC

=x

OA

+y

OB

?

OC

2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

•

OB

，
又|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

•

OB

=0，
∴1=x²+y²≥2xy，得xy≤

1

2

，
而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧

AB

上變動(dòng)，得x，y∈[0，1]，
于是，0≤xy≤

1

2

，
故答案為[0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義以及基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．