(2012•福建模擬)(1)選修4-2:矩陣與變換
已知向量
1
-1
在矩陣M=
1m
01
變換下得到的向量是
0
-1

(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求曲線y2-x+y=0在矩陣M-1對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到的曲線方程.
(2)選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4
2
,
π
4
),曲線C的參數(shù)方程為
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
(α為參數(shù)).
(Ⅰ)求直線OM的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值.
(3)選修4-5:不等式選講
設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足2a+b=9.
(Ⅰ)若|9-b|+|a|<3,求x的取值范圍;
(Ⅱ)若a,b>0,且z=a2b,求z的最大值.
分析:(1)(Ⅰ)由條件可得
1-m
-1
=
0
-1
,由此求得m的值.
(Ⅱ)先求出 M-1=
1-1
01
,設(shè)曲線 y2-x+y=0上任意一點(diǎn)(x,y)在矩陣M-1所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像是(x′,y′),可得
x=x+y′
y=y′
,代入曲線 y2-x+y=0化簡(jiǎn)得到結(jié)果.
(2)解:(Ⅰ)由點(diǎn)M的極坐標(biāo)求得得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(4,4),從而得到直線OM的直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)由曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為(x-1)2+y2=2,求得圓心和半徑r,根據(jù)點(diǎn)M在曲線C外,可得點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離最小值為MA-r.
(3)把條件轉(zhuǎn)化為|6-b|=2|a|,不等式|9-b|+|a|<3可化為3|a|<3,即|a|<1,由此求得a的取值范圍.
(Ⅱ)因?yàn)閍,b>0,可得 z=a2 b=a•a•b,利用基本不等式求得z的最大值.
解答:(1)解:(Ⅰ)因?yàn)?nbsp;
1m
01
 
1
-1
=
1-m
-1
,
所以,
1-m
-1
=
0
-1
,即 m=1.…(3分)
(Ⅱ)因?yàn)镸=
11
01
,所以 M-1=
1-1
01
.…(4分)
設(shè)曲線 y2-x+y=0上任意一點(diǎn)(x,y)在矩陣M-1所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像是(x′,y′),
x′
y′
=
1-1
01
 
x
y
=
x-y
y
,…(5分)
所以
x-y=x′
y=y′
 得
x=x′+y′
y=y′
代入曲線 y2-x+y=0得 y′2=x′.…(6分)
由 (x,y)的任意性可知,
曲線 y2-x+y=0在矩陣 M-1對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的曲線方程為 y2=x.…(7分)
(2)解:(Ⅰ)由點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4
2
π
4
)得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(4,4),
所以直線OM的直角坐標(biāo)方程為y=x.…(3分)
(Ⅱ)由曲線C的參數(shù)方程
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
(α為參數(shù))
化為普通方程為 (x-1)2+y2=2,…(5分)
圓心為A(1,0),半徑為r=
2

由于點(diǎn)M在曲線C外,故點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離最小值為MA-r=5-
2
.…(7分)
(3)解:(Ⅰ)由2a+b=9得9-b=2a,即|6-b|=2|a|.
所以|9-b|+|a|<3可化為3|a|<3,即|a|<1,解得-1<a<1.
所以a的取值范圍(-1,1).…(4分)
(Ⅱ)因?yàn)閍,b>0,所以 z=a2 b=a•a•b≤(
a+b+c
3
)
2
=33=27,…(6分)
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí),等號(hào)成立. 故z的最大值為27.…(7分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.考查絕對(duì)不等式、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在5場(chǎng)比賽的得分情況如莖葉圖所示,記甲、乙兩人的平均得分分別為
.
x
,
.
x
,則下列判斷正確的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是
3
2
,則正視圖中的x的值是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)已知平面向量
a
=(3,1)
,
b
=(x
,-3),且
a
b
,則x=
1
1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)若a=20.3,b=0.32,c=log0.32,則a,b.c的大小順序是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)已知函數(shù)f(x)=
log2x , x>0
3x+1 , x≤0
f(f(
1
4
))
的值是(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案