4.已知函數(shù)f(x)=2m2x2+4mx-3lnx,其中m∈R
(1)若x=1是f(x)的極值點(diǎn),求m的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′(1)=0,求出m的值即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而判斷函數(shù)的極值即可.

解答 解:(1)f′(x)=4m2x+4m-$\frac{3}{x}$,
若x=1是f(x)的極值點(diǎn),
則f′(1)=4m2+4m-3=0,
解得:m=-$\frac{3}{2}$或m=$\frac{1}{2}$;
(2)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=$\frac{(2mx+3)(2mx-1)}{x}$,
當(dāng)m>0時(shí),令f′(x)>0,解得:x>$\frac{1}{2m}$,
令f′(x)<0,解得:0<x<$\frac{1}{2m}$,
故f(x)在(0,$\frac{1}{2m}$)遞減,在($\frac{1}{2m}$,+∞)遞增,
f(x)的極小值為f($\frac{1}{2m}$)=$\frac{5}{2}$+3ln(2m);無極大值.
當(dāng)m<0時(shí),令f′(x)>0,解得:x>-$\frac{3}{2m}$,
令f′(x)<0,解得:0<x<-$\frac{3}{2m}$,
故f(x)在(0,-$\frac{3}{2m}$)遞減,在(-$\frac{3}{2m}$,+∞)遞增,
故f(x)的極小值為f(-$\frac{3}{2m}$)=-$\frac{3}{2}$-3ln(-$\frac{3}{2m}$);無極大值.
當(dāng)m=0時(shí),f′(x)<0,減區(qū)間為(0,+∞),無增區(qū)間和極值.

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.

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12.過點(diǎn)A(5,2),且在坐標(biāo)軸上截距的絕對值相同的直線l的方程為( 。
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