Question

14．如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，BE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$FA，M為FD的中點(diǎn)．
（1）證明：CM∥面ABEF；
（2）C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？

Answer 1

分析 （1）設(shè)G為AF的中點(diǎn)，連接BG，GM，CM，推導(dǎo)出四邊形BCMG為平行四邊形，從而CM∥BG，由此能證明CM∥平面ABEF．
（2）推導(dǎo)出四邊形BEFG為平行四邊形，從而EF∥BG，進(jìn)而EF∥CM，由此得到C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．

解答 證明：（1）設(shè)G為AF的中點(diǎn)，連接BG，GM，CM，
由已知FG=GA，F(xiàn)M=MD，可得GM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，BC$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
∴GM$\underset{∥}{=}$BC，
∴四邊形BCMG為平行四邊形，∴CM∥BG，
∵BG?ABEF，CM?面ABEF，
∴CM∥平面ABEF．
解：（2）由BE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$FA，G為FA中點(diǎn)知，BE$\underset{∥}{=}$FG，
∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG，
由（1）知BG$\underset{∥}{=}$CM，∴EF∥CM，∴EF與CM共面．
又D∈FM，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查四點(diǎn)共面的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．