【題目】已知圓,橢圓()的短軸長(zhǎng)等于圓半徑的倍,的離心率為.
(1)求的方程;
(2)若直線與交于兩點(diǎn),且與圓相切,證明:.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】
(1)由題分別計(jì)算橢圓的基本量即可.
(2)分直線斜率不存在與存在兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為利用直線與圓相切求得,再聯(lián)立橢圓方程設(shè)交點(diǎn)再得出韋達(dá)定理證明0即可.
解法一:(1)依題意,圓半徑等于,
因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)等于圓半徑的倍,
所以,解得
因?yàn)?/span>的離心率為,所以, ①
又因?yàn)?/span>,所以, ②
聯(lián)立①② ,解得,
所以的方程為.
(2)證明:①當(dāng)直線斜率不存在時(shí), 直線的方程為,或.
當(dāng)時(shí),,則,故.
同理可證,當(dāng)時(shí),.
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為
因?yàn)橹本與圓相切,所以,即,
由得,,
所以,且
所以
,
所以
綜上,
解法二:(1)同解法一
(2)①當(dāng)直線方程為時(shí), ,則
,故
同理可證,當(dāng)直線方程為時(shí),
②當(dāng)直線不與軸平行時(shí),設(shè)其方程為
因?yàn)橹本與圓相切,所以,即
由得,
所以,且
,
所以,.
綜上,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義符號(hào)函數(shù),已知函數(shù).
(1)已知,求實(shí)數(shù)的取值集合;
(2)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上有唯一零點(diǎn),求的取值集合;
(3)已知在上的最小值為,求正實(shí)數(shù)的取值集合;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,,為的中點(diǎn),現(xiàn)將與折起,使得平面及平面都與平面垂直.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使得為上的奇函數(shù),則稱是位差值為的“位差奇函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)和是否為位差奇函數(shù)?說(shuō)明理由;
(2)若是位差值為的位差奇函數(shù),求的值;
(3)若對(duì)任意屬于區(qū)間中的都不是位差奇函數(shù),求實(shí)數(shù)、滿足的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),直線與相交于不同的兩點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求的面積的最小值(為坐標(biāo)原點(diǎn));
(3)已知點(diǎn),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),如果存在實(shí)數(shù)(,且不同時(shí)成立),使得對(duì)恒成立,則稱函數(shù)為“映像函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否是“映像函數(shù)”,如果是,請(qǐng)求出相應(yīng)的的值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)已知函數(shù)是定義在上的“映像函數(shù)”,且當(dāng)時(shí),.求函數(shù)()的反函數(shù);
(3)在(2)的條件下,試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列,使得當(dāng)時(shí),,并求時(shí),函數(shù)的解析式,及的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】半圓的直徑的兩端點(diǎn)為,點(diǎn)在半圓及直徑上運(yùn)動(dòng),若將點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到點(diǎn),記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若稱封閉曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值為該曲線的“直徑”,求曲線的“直徑”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,沿河有A、B兩城鎮(zhèn),它們相距千米.以前,兩城鎮(zhèn)的污水直接排入河里,現(xiàn)為保護(hù)環(huán)境,污水需經(jīng)處理才能排放.兩城鎮(zhèn)可以單獨(dú)建污水處理廠,或者聯(lián)合建污水處理廠(在兩城鎮(zhèn)之間或其中一城鎮(zhèn)建廠,用管道將污水從各城鎮(zhèn)向污水處理廠輸送).依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式,建廠的費(fèi)用為(萬(wàn)元),表示污水流量;鋪設(shè)管道的費(fèi)用(包括管道費(fèi))(萬(wàn)元),表示輸送污水管道的長(zhǎng)度(千米).已知城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B的污水流量分別為、,、兩城鎮(zhèn)連接污水處理廠的管道總長(zhǎng)為千米.假定:經(jīng)管道輸送的污水流量不發(fā)生改變,污水經(jīng)處理后直接排入河中.請(qǐng)解答下列問(wèn)題(結(jié)果精確到):
(1)若在城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B單獨(dú)建廠,共需多少總費(fèi)用?
(2)考慮聯(lián)合建廠可能節(jié)約總投資,設(shè)城鎮(zhèn)A到擬建廠的距離為千米,求聯(lián)合建廠的總費(fèi)用與的函數(shù)關(guān)系式,并求的取值范圍.
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