Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)（，且不同時(shí)成立），使得對(duì)恒成立，則稱函數(shù)為“映像函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否是“映像函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求出相應(yīng)的的值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）已知函數(shù)是定義在上的“映像函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，.求函數(shù)（）的反函數(shù)；

（3）在（2）的條件下，試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，使得當(dāng)時(shí)，，并求時(shí)，函數(shù)的解析式，及的值域．

Answer 1

【答案】（1）是“映像函數(shù)”，；（2）；（3），值域

【解析】

（1）直接由題意列關(guān)于a，b的方程組，求解得答案；

（2）由題意可得f（0）＝f（3），f（1）＝f（7），而當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）＝2x，則x∈[3，7）時(shí)，設(shè)f（x）＝2sx+t，可得，求得s，t的值，則函數(shù)解析式可求，把x用含有y的代數(shù)式表示，把x，y互換可得y＝f（x）（x∈[3，7））的反函數(shù)；

（3）由（2）可知，構(gòu)造數(shù)列{an}，滿足a1＝0，an+1＝2an+1，可得數(shù)列{an+1}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由此求得．當(dāng)x∈[an，an+1）＝[2n﹣1﹣1，2n﹣1），令，解得s＝21﹣n，t＝21﹣n﹣1，可得x∈[an，an+1）（n∈N*）時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的解析式為f（x），并求得x∈[0，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?/span>[1，2）．

（1）對(duì)于，，

若，則，

即恒成立，∴，∵不同時(shí)成立，∴，

即是“映像函數(shù)”

（2）當(dāng)時(shí)，，從而，∵函數(shù)是定義在上的“映像函數(shù)”，

∴，令，則，∴

∴（），由得，，此時(shí)

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的反函數(shù)是；

（3）∵時(shí)，，

∴構(gòu)造數(shù)列，，且，于是，

∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，

而

∴當(dāng)，即時(shí)，

對(duì)于函數(shù)，∵，令，則

∴，

∴當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴

而，

即函數(shù)的值域?yàn)?/span>.