2 |
分析:(1)解法一:由已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,可得PC與AD所成的角即為∠PCB,解三角形PCB即可得到異面直線PC與AD所成角的大。 解法二:以A為原點(diǎn),直線AB為x軸、直線AD為y軸、直線AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出直線PC與AD的方向向量,代入向量夾角公式即可得到異面直線PC與AD所成角的大小. (2)解法一:過Q作QF⊥AB,垂足為F,連接PF,可證得PQ與AD所成角即為∠PQF=60°,在平面ABCD中,以A為原點(diǎn),直線AB為x軸,直線AD為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x,y),根據(jù)|QF|=|y|=
解法二:以A為原點(diǎn),直線AB為x軸、直線AD為y軸、直線AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由該曲線上的任一動(dòng)點(diǎn)Q都滿足PQ與AD所成角的大小恰等PC與AD所成角,分別求出向量
(3)在xOy的坐標(biāo)系中,設(shè)G(x1,y1)求出直線DC的方程后,代入雙曲線E:3y2-x2=4的方程,根據(jù)韋達(dá)定理及直線DC與雙曲線E交于點(diǎn)C,可以求出x,y的取值范圍,進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求出圓的半徑|BQ|的取值范圍,進(jìn)而我們可以分別研究問題一:求四面體P-BMN體積的取值范圍.問題二:求側(cè)棱PM與底面BMN所成角大小的取值范圍.問題三:求側(cè)棱PN與底面BMN所成角大小的取值范圍.問題四:求側(cè)面PMN和底面BMN所成的二面角P-MN-B大小的取值范圍等. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
解答:解:(1)解法一:由題意,四邊形ABCD是直角梯形,且AD∥BC, 則PC與AD所成的角即為∠PCB. 因?yàn)镈A⊥AB⇒BC⊥AB,又PA⊥平面ABCD, 所以BC⊥平面ABCD,則有∠PBC=90°. 因?yàn)镻B=
所以tan∠PCB=
即異面直線PC與AD所成角的大小為60°. 解法二:如圖,以A為原點(diǎn),直線AB為x軸、直線AD為y軸、直線AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 于是有P(0,0,2)、C(2
則異面直線PC與AD所成角θ滿足cosθ=
所以,異面直線PC與AD所成角的大小為60° (2)解法一:由條件,過Q作QF⊥AB,垂足為F,連接PF. 于是有AD∥QF,故PQ與AD所成角即為∠PQF=60°. 在平面ABCD中,以A為原點(diǎn),直線AB為x軸,直線AD為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x,y), 則有|PF|=
又QF⊥平面PAB,所以QF⊥PF. 所以|QF|=|y|=
即3y2-x2=4. 所以,可判定曲線E是雙曲線. (2)解法二:如圖,以A為原點(diǎn),直線AB為x軸、直線AD為y軸、直線AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)Q(x,y,0),P(0,0,2)、D(0,1,0), 則有
由
化簡(jiǎn)整理得到3y2-x2=4,則曲線E是平面ABCD內(nèi)的雙曲線. (3)在如圖所示的xOy的坐標(biāo)系中,因?yàn)镈(0,1)、C(2
設(shè)G(x1,y1).則有
代入雙曲線E:3y2-x2=4,的方程整理后可得5y2-16y+12=0,其中y1•y2=
因?yàn)橹本DC與雙曲線E交于點(diǎn)C,故y1=
故雙曲線E在直角梯形ABCD內(nèi)部(包括邊界)的區(qū)域滿足x∈[
又設(shè)Q(x,y)為雙曲線段CG上的動(dòng)點(diǎn)x∈[
所以,|BQ|=
因?yàn)?span id="mofru5a" class="MathJye">
所以當(dāng)x=
當(dāng)x
而要使圓B與AB、BC都有交點(diǎn),則|BQ|≤2. 故滿足題意的圓的半徑的取值范圍是|BQ|∈[
【說明】 1.若提出的問題在解決過程中不需用到以上結(jié)論的,則完整提出問題并解決最高得6分. 2.若提出的問題在解決過程中需用到以上結(jié)論的,則上述分析過程滿分6分;繼續(xù)深入的研究過程和結(jié)論則可參考以下典型問題和解答,最高再得6分. 問題一:求四面體P-BMN體積的取值范圍. 因?yàn)镻A⊥DMN,所以P-BMN體積為VP-BMN=
又因?yàn)椤螹BN為直角,所以△BMN必為等腰直角三角形. 由前述,設(shè)|BQ|=r∈[
故其面積為S△BMN=
于是VP-BMN=
(當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí),體積取得最大值;當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)x=
問題二:求側(cè)棱PM與底面BMN所成角大小的取值范圍. 解:因?yàn)镻A⊥BMN,所以∠PMA即為側(cè)棱PM與底面BMN所成角. 而tan∠PMA=
由于
所以tan∠PMA∈[1.995,2.414],即.∠PMA∈[arctan1.995,arctan2.414], 問題三:求側(cè)棱PN與底面BMN所成角大小的取值范圍. 解:因?yàn)镻A⊥BMN,所以∠PNA 即為側(cè)棱PN與底面BMN 所成角. 因?yàn)镹(2
故tan∠PNA=
由于
所以tan∠PNA∈[
問題四:求側(cè)面PMN和底面BMN所成的二面角P-MN-B大小的取值范圍. 解:如圖,以A為原點(diǎn),直線AB為x軸、直線AD為y軸、直線AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)P(0,0,2)、M(2
設(shè)平面PMN的法向量為
由
可知,向量
而cosθ=
經(jīng)分析可得,cosθ在區(qū)間r∈[
|