解:(1)當a=1時,f(x)=lnx-x
2+x,其定義域是(0,+∞)
∴
…(2分)
令f′(x)=0,即
=0,解得
或x=1.∵x>0,
∴
舍去.
當0<x<1時,f′(x)>0;當x>1時,f′(x)<0.
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減
∴當x=1時,函數(shù)f(x)取得最大值,其值為f(1)=ln1-1
2+1=0.
當x≠1時,f(x)<f(1),即f(x)<0.
∴函數(shù)f(x)只有一個零點. …(7分)
(2)顯然函數(shù)f(x)=lnx-a
2x
2+ax的定義域為是(0,+∞)
∴
=
…(8分)
1當a=0時,
,∴f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),不合題意 …(9分)
2 當a>0時,f′(x)≤0(x>0)等價于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即
此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[
,+∞).
依題意,得
,解之得a≥1. …(11分)
綜上,實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞) …(14分)
法二:
①當a=0時,
,∴f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),不合題意…(9分)
②當a≠0時,要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),只需f′(x)≤0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,
∵x>0,∴只要2a
2x
2-ax-1≥0,且a>0時恒成立,
∴
解得a≥1
綜上,實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞) …(14分)
分析:(1)把a=1代入函數(shù),利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性求出最值,判斷出最值的符號,然后分區(qū)間討論可得到零點的個數(shù).
(2)方法一:對參數(shù)a進行討論,然后利用導數(shù)f′(x)≤0(注意函數(shù)的定義域)來解答,方法一是先解得單調(diào)減區(qū)間A,再與已知條件中的減區(qū)間(1,+∞)比較,即只需要(1,+∞)⊆A即可解答參數(shù)的取值范圍;
方法二是要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),我們可以轉(zhuǎn)化為f′(x)≤0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立的問題來求解,然后利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間于對稱軸的關系來解答也可達到目標.
點評:本題考查函數(shù)的零點的存在性定理,綜合利用函數(shù)的導數(shù)來解決有關函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題的能力,考查已知函數(shù)的單調(diào)性的條件下怎樣求解參數(shù)的范圍問題;本題始終圍繞參數(shù)a來設計問題,展開問題的討論,應用的工具就是函數(shù)的導數(shù),這是現(xiàn)在高考的熱點,同樣也是難點,對參數(shù)的把握最能體現(xiàn)學生的能力與水平;本題還綜合考查了分類討論,函數(shù)與方程,配方法等數(shù)學思想與方法.