Question

【題目】已知、為橢圓： （）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若圓是以為直徑的圓，直線： 與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義得，再代入點(diǎn)P坐標(biāo)得（2）由直線與圓相切得，由，利用向量數(shù)量積得，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得的值．

試題解析：（1）由題意得： 解得

則橢圓方程為．

（2）由直線與圓相切，得， ，

設(shè)， ，

由消去，整理得，

恒成立，

所以， ，

，

∵， ，

解得．

點(diǎn)睛: 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達(dá)定理或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.涉及中點(diǎn)弦問題往往利用點(diǎn)差法.