Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₇，a₅，a₃，a₆；        
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）求證：

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜2．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件a_n+3=a_n+3，求出a₄=4，a₇=7，再利用條件a_n+2≥a_n+2得到a₇，a₅，a₃，a₆值．
（2）利用已知條件a_n+2≥a_n+2得到數(shù)列的遞推關系，利用等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，利用通項公式求出
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（3）先求出通項

1

an2

=

1

n2

，再將其放縮，然后利用裂項相消的方法證出不等式．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+3=a_n+3，
∴a₄=4，a₇=7
∵a_n+2≥a_n+2
∴a₃≥3，a₅≥a₃+2，a₇≥a₅+2，
∴a₅=5，a₃=3，a₆=a₃+3=6
（2）∵a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）
∴a_n+3≤a_n+2+1（n∈N^*）
∴a_n+1≤a_n+1，a_n+2≤a_n+1+1
∴a_n+1+a_n+2+a_n+3≤a_n+a_n+1+a_n+2+3，即a_n+3≤a_n+3
∴a_n+1=a_n+1，a_n+2=a_n+1+1，a_n+3=a_n+2+1
∴{a_n}為等差數(shù)列，公差d=1．
∴a_n=n
（3）證明：n=1時，

1

a12

=1＜2成立n＞1時，
∵

1

an2

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n＞1）
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜2

點評：證明與數(shù)列的和有關的不等式時，一般能求和的先求出和，若不能求和，常通過放縮法轉化為能求和的數(shù)列和的不等式再證明．