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20.已知函數(shù)f(x)=mln(x+1)-nx在點(1,f(1))處的切線與y軸垂直,且f2=13,其中 m,n∈R.
(Ⅰ)求m,n的值,并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=-x2+2x,確定非負實數(shù)a的取值范圍,使不等式f(x)+x≥ag(x)在[0,+∞)上恒成立.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到關(guān)于m,n的方程組,求出m,n的值,從而求出f(x)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)問題可轉(zhuǎn)化為不等式2ln(x+1)-a(-x2+2x)≥0在[0,+∞)上恒成立時,確定非負實數(shù)a的取值范圍,記h(x)=2ln(x+1)-a(-x2+2x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)對f(x)求導(dǎo),得fx=mx+1n,
若f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸垂直,
m2n=0,又f2=13,則m3n=13,
{m2n=0m3n=13,求得{m=2n=1
所以f(x)=2ln(x+1)-x,定義域為(-1,+∞),
對f(x)求導(dǎo),得fx=2x+11=1xx+1
由f'(x)>0,求得-1<x<1,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1);
由f'(x)<0,求得x>1,即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,不等式f(x)+x≥ag(x)即是2ln(x+1)≥a(-x2+2x),
于是問題可轉(zhuǎn)化為不等式2ln(x+1)-a(-x2+2x)≥0在[0,+∞)上恒成立時,確定非負實數(shù)a的取值范圍,
記h(x)=2ln(x+1)-a(-x2+2x),則hx=2x+1+2ax2a=2ax2+1ax+1,
①當a=0時,對?x0hx=2x+10,則h(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
②當a>0時,令h'(x)=0,則ax2+1-a=0,當1-a≥0,
即0<a≤1時,對?x≥0,h'(x)>0,則h(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
所以h(x)=h(0)=0,此時命題成立;
當1-a<0,即a>1時,由ax2+1-a=0,
求得x1=a1ax2=a1a0.h(x),h'(x)的變化情況如表:

x0(0,x2x2(x2,+∞)
h'(x)-0+
h(x)極小值
因為h(x)min=h(x2)<h(0)=0,
所以當x≥0時,命題不成立.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,考查轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

練習(xí)冊系列答案
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(2)若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求實數(shù)m的取值范圍.

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A.\frac{1}{10}B.\frac{2}{5}C.\frac{π}{45}D.\frac{45-π}{45}

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A.{({x-\frac{1}{3}})^2}+{({y-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}})^2}=\frac{16}{3}B.{({x-\frac{1}{3}})^2}+{({y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}})^2}=\frac{16}{3}
C.{({x-3})^2}+{({y-2\sqrt{3}})^2}=16D.{({x-3})^2}+{({y-\sqrt{3}})^2}=16

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①若奇函數(shù)f(x)的周期為4,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(2,0)對稱;
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A.45°B.30°C.15°D.60°

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