分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到關(guān)于m,n的方程組,求出m,n的值,從而求出f(x)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)問題可轉(zhuǎn)化為不等式2ln(x+1)-a(-x2+2x)≥0在[0,+∞)上恒成立時,確定非負實數(shù)a的取值范圍,記h(x)=2ln(x+1)-a(-x2+2x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)對f(x)求導(dǎo),得f′(x)=mx+1−n,
若f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸垂直,
則m2−n=0,又f′(2)=−13,則m3−n=−13,
由{m2−n=0m3−n=−13,求得{m=2n=1,
所以f(x)=2ln(x+1)-x,定義域為(-1,+∞),
對f(x)求導(dǎo),得f′(x)=2x+1−1=1−xx+1,
由f'(x)>0,求得-1<x<1,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1);
由f'(x)<0,求得x>1,即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,不等式f(x)+x≥ag(x)即是2ln(x+1)≥a(-x2+2x),
于是問題可轉(zhuǎn)化為不等式2ln(x+1)-a(-x2+2x)≥0在[0,+∞)上恒成立時,確定非負實數(shù)a的取值范圍,
記h(x)=2ln(x+1)-a(-x2+2x),則h′(x)=2x+1+2ax−2a=2(ax2+1−a)x+1,
①當a=0時,對?x≥0,h′(x)=2x+1>0,則h(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
②當a>0時,令h'(x)=0,則ax2+1-a=0,當1-a≥0,
即0<a≤1時,對?x≥0,h'(x)>0,則h(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
所以h(x)=h(0)=0,此時命題成立;
當1-a<0,即a>1時,由ax2+1-a=0,
求得x1=−√a−1a(含),x2=√a−1a>0.h(x),h'(x)的變化情況如表:
x | 0 | (0,x2) | x2 | (x2,+∞) |
h'(x) | - | 0 | + | |
h(x) | ↘ | 極小值 | ↗ |
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,考查轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
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A. | \frac{1}{10} | B. | \frac{2}{5} | C. | \frac{π}{45} | D. | \frac{45-π}{45} |
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A. | {({x-\frac{1}{3}})^2}+{({y-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}})^2}=\frac{16}{3} | B. | {({x-\frac{1}{3}})^2}+{({y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}})^2}=\frac{16}{3} | ||
C. | {({x-3})^2}+{({y-2\sqrt{3}})^2}=16 | D. | {({x-3})^2}+{({y-\sqrt{3}})^2}=16 |
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A. | 45° | B. | 30° | C. | 15° | D. | 60° |
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