Question

5．已知過拋物線G：y²=2px（p＞0）焦點F的直線l與拋物線G交于M、N兩點（M在x軸上方），滿足$\overrightarrow{MF}=3\overrightarrow{FN}$，$|{MN}|=\frac{16}{3}$，則以M為圓心且與拋物線準線相切的圓的標準方程為（　�。�

• A． ${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{（{y-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）^2}=\frac{16}{3}$
• B． ${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{（{y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）^2}=\frac{16}{3}$
• C． ${（{x-3}）^2}+{（{y-2\sqrt{3}}）^2}=16$
• D． ${（{x-3}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=16$

Answer 1

分析 求出直線l的斜率，可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用|MN|，求出p，可得M的坐標，即可求出以M為圓心且與拋物線準線相切的圓的標準方程．

解答 解：如圖，過點N作NE⊥MM′，由拋物線的定義，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．
解三角形EMN，得∠EMF=$\frac{π}{3}$，所以直線l的斜率為$\sqrt{3}$，
其方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
與拋物線方程聯(lián)立可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
∴|MN|=$\frac{8}{3}$p=$\frac{16}{3}$，
∴p=2，
∴M（3，2$\sqrt{3}$），r=4，
∴圓的標準方程為（x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16．
故選：C．

點評 本題主要考查拋物線定義以及拋物線的性質(zhì)，以M為圓心且與拋物線準線相切的圓的標準方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．