Question

已知正數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足4S_n=（a_n+1）²．
（Ⅰ）求a₁，a₂及{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=2010-a_n，問數(shù)列{b_n}的前多少項(xiàng)的和最大？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由4S_n=（a_n+1）²，依次取n=1，n=2，能求出a₁，a₂，由4Sn=(an+1)2，4Sn+1=(an+1+1)2，兩式相減，得a_n+1-a_n=2，由此能求出a_n=2n-1．
（2）b_n=2010-2n+1=2011-2n，要使{b_n}的前n項(xiàng)和最大，則滿足

bn=2011-2n≥0 bn+1=2011-2(n+1)=2009-2n＜0

，由此能求出前1005項(xiàng)的和最大．

解答： 解：（1）令n=1，4S1=4a1=(a1+1)2，解得a₁=1
令n=2，4S2=4(a1+a2)=(a2+1)2，a2=3，
4Sn=(an+1)2，4Sn+1=(an+1+1)2，
兩式相減，得4an+1=

a

2 n+1

-

a

2 n

+2an+1-2an，
移項(xiàng)得：2(an+1+an)=

a

2 n+1

-

a

2 n

，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=2010-2n+1=2011-2n，
要使{b_n}的前n項(xiàng)和最大，
則滿足

bn=2011-2n≥0 bn+1=2011-2(n+1)=2009-2n＜0

，
解得1004.5＜n≤1005.5，n∈N
則n=1005
即前1005項(xiàng)的和最大．

點(diǎn)評：本題考查a₁，a₂及{a_n}的通項(xiàng)公式的求示，考查數(shù)列{b_n}的前多少項(xiàng)的和最大的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．