Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=3a_n-1-4n+6（n≥2，n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=a_n-2n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=a_n-2n和a_n=3a_n-1-4n+6（n≥2，n∈N^*）通過(guò)構(gòu)造和利用等比數(shù)列的定義可以證明{b_n}是等比數(shù)列
（2）利用（1）的結(jié)論求出{b_n}的通項(xiàng)，從而求得a_n，然后利用求和公式求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
解答：解：（1）∵b_n=a_n-2n，即a_n=b_n+2n
∵a_n=3a_n-1-4n+6，
∴b_n+2n=3[b_n-1+2（n-1）]，
即b_n=3b_n-1
又b₁=a₁-2=-1≠0
所以數(shù)列{b_n}是以-1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知a_n-2n=-3^n-1，即a_n=2n-3^n-1．
所以．
點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)中檔題，主要考查了由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)，和數(shù)列求和的方法．體現(xiàn)了構(gòu)造的思想方法．