Question

已知f（x）=lnx，（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1），
當△=1+4a≤0，即時，F(xiàn)′（x）≤0，
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
當△＞0，即時，，
①時，x₁≤0，x₂＞0，單調(diào)增區(qū)間為（0，x₂），單調(diào)減區(qū)間為（x₂，+∞）
②a＞0時，x₁＞0，x₂＞0，單調(diào)增區(qū)間為（x₁，x₂），，單調(diào)減區(qū)間為（0，x₁），（x₂，+∞）
綜上：①時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
②時，x₁≤0，x₂＞0，單調(diào)增區(qū)間為（0，x₂），單調(diào)減區(qū)間為（x₂，+∞）
③a＞0時，x₁＞0，x₂＞0，單調(diào)增區(qū)間為（x₁，x₂），單調(diào)減區(qū)間為（0，x₁），（x₂，+∞）
（2）恒成立，等價于a≥[xlnx-x²]_max
k（x）=xlnx-x²，k′（x）=1+lnx-2x，
k′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
k′（x）≤k′（1）=-1＜0，
k（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴k（x）的最大值為k（1）=-1，
所以a≥-1
分析：（1）構(gòu)造新函數(shù)，對于新函數(shù)求導，利用二次函數(shù)的判別式整理出函數(shù)的單調(diào)性，討論a的值，根據(jù)a的值不同求出函數(shù)的導函數(shù)與0的關(guān)系不同，寫出對應的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）函數(shù)恒成立等價于a≥[xlnx-x²]_max．構(gòu)造新函數(shù)只要求出新函數(shù)的最大值，問題就可以解決，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，得到結(jié)果．
點評：不同考查函數(shù)利用導數(shù)求最值，不同解題的關(guān)鍵是求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，這種函數(shù)的思想在函數(shù)綜合題目中應用的比較多．