Question

7．記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線BD₁上一點(diǎn)，記$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{D}_{1}B}$，當(dāng)∠APC為鈍角時(shí)，則λ的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 由題意，以$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{{DD}_{1}}$為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示求出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PC}$，由∠APC為鈍角等價(jià)于$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$＜0，得出關(guān)于λ的不等式，求出解集即可．

解答 解：由題意知，以$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{{DD}_{1}}$為單位正交基底，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）；
由$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（1，1，-1），得$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（λ，λ，-λ），
所以$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{{PD}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1），
$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{{PD}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1），
顯然∠APC不是平角，
所以∠APC為鈍角等價(jià)于cos∠APC=cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PC}$＞=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PA}|×|\overrightarrow{PC}|}$，
則等價(jià)于$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$＜0；
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，
解得$\frac{1}{3}$＜λ＜1；
因此，λ的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，1）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用空間向量求直線間的夾角，以及一元二次不等式的解法問題，屬于基礎(chǔ)題．