Question

16．已知P點(diǎn)在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、F₁分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，且PF₁⊥x軸，AB∥OP，|AF₁|=$\sqrt{2}$+1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求△PMN面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可將x=-c代入橢圓方程可得P的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線平行的條件：斜率相等，可得b=c，再由條件結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）討論直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=kx，代入橢圓方程，求得M，N的長，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，可得P到MN的距離，求得△PMN的面積S，運(yùn)用基本不等式可得S的范圍；討論直線的斜率不存在，可得面積為1．進(jìn)而得到所求面積的范圍．

解答 解：（1）由PF₁⊥x軸，可將x=-c代入橢圓方程可得，
y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，即有P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
由AB∥OP，A（a，0），B（0，b），
可得k_AB=k_OP，即有-$\frac{a}$=-$\frac{^{2}}{ac}$，化為b=c；
|AF₁|=$\sqrt{2}$+1，即為a+c=1+$\sqrt{2}$，
又a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l：y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，y²=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
|MN|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$．
P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線l的距離為d=$\frac{|k+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則△PMN的面積為S=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$•$\frac{|k+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}}$，
若k=0，則S=1；
若k≠0，則S=$\sqrt{1+\frac{2\sqrt{2}}{2k+\frac{1}{k}}}$，又2k+$\frac{1}{k}$≥2$\sqrt{2}$或2k+$\frac{1}{k}$≤-2$\sqrt{2}$，
則0≤1+$\frac{2\sqrt{2}}{2k+\frac{1}{k}}$＜1或1＜1+$\frac{2\sqrt{2}}{2k+\frac{1}{k}}$≤2．
則0＜S≤$\sqrt{2}$．
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，S=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
綜上可得，△PMN面積的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用兩直線平行的條件：斜率相等，考查三角形的面積的最值的求法，注意聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，考查基本不等式的運(yùn)用，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．