Question

12．已知S_n={A|A=（a₁，a₂，…，a_n），a_i=0或1，i=0，1，2，…，n}，對(duì)于U，V∈S_n，d（U，V）表示U，V中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)．
（1）令U={1，1，1，1，1，1}，存在m個(gè)V∈S₆，使得d（U，V）=2，則m=15；
（2）若一確定U∈S_n的，對(duì)于任意的V∈S_n，則所有d（U，V）之和為n•2^n-1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)V∈S₆，d（U，V）=2及d（U，V）的意義：表示U和V中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)，可知m=C₆²；
（2）易知S_n中共有2ⁿ個(gè)元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=0的v_k共有2^n-1個(gè)，b_i=1的v_k共有2^n-1個(gè)然后求和即可．

解答 解：（1）∵V∈S₆，d（U，V）=2，
∴m=C₆²=15，即m=15；
故答案是：15；
（2）易知S_n中共有2ⁿ個(gè)元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），
∵b_i=0的v_k共有2^n-1個(gè)，b_i=1的v_k共有2^n-1個(gè)．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-0|+|a₁-1|+|a₂-0|+a₂-1|+|a₃-0|+|a₃-1|+…+|a_n-0|+|a_n-1|=n•2^n-1，
∴d（U，V）=n•2^n-1．
故答案為：n•2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)難題．本題是綜合考查集合推理綜合的應(yīng)用，這道題目的難點(diǎn)主要出現(xiàn)在讀題上，需要仔細(xì)分析，以找出解題的突破點(diǎn)．題目所給的條件其實(shí)包含兩個(gè)定義，第一個(gè)是關(guān)于S_n的，其實(shí)S_n中的元素就是一個(gè)n維的坐標(biāo)，其中每個(gè)坐標(biāo)值都是2012或2013，也可以這樣理解，就是一個(gè)n位數(shù)字的數(shù)組，每個(gè)數(shù)字都只能是2012或2013，第二個(gè)定義d（U，V），正確理解這兩個(gè)定義是解答的關(guān)鍵．